Enunciado

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado

f x = x 3 = 1 - x ,   ( 0 ,   1 )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que verifiquemos, através o Teorema do Valor Intermediário, se existe uma raiz da equação

f x = x 3 = 1 - x

No intervalo aberto 0,1 . Mas que teorema é esse?

Vamos considerar uma função f ( x ) que é contínua no intervalo fechado a , b . Então se a gente pegar um número N tal que:

f b   < N < f a

Em que a ≠ b . Então deve existir um número c dentro do intervalo a , b de modo que:

f c = N  

Na prática a gente quer provar que existe um 0 entre f 0 e f 1 , então vamos organizar a expressão acima na forma de uma função f x e depois verificar se ela é contínua no intervalo dado!

Depois vamos calcular f 0 e f 1 e verificar se um resultado é positivo e outro negativo. Assim provamos que existe uma raiz dentro desse intervalo!

Passo 2

Temos a expressão:

f x = x 3 = 1 - x

Passando a parte direita pra dentro da igualdade:

f x = x 3 - 1 + x

Na função acima o x pode assumir qualquer valor no intervalo 0,1 e também em 0 e em 1 . Então ela é contínua no intervalo fechado 0,1 .

Passo 3

Agora vamos calcular f 0 e f 1 :

f x = x 3 = 1 - x

Aplicando x = 0 na equação, temos:

f 0 = 0 3 - 1 + 0 = - 1

Aplicando x = 1 na equação, temos:

f 1 = 1 3 - 1 + 1 = 1

Como - 1 < 0 < 1 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 0 ,   1 ) há um número c tal que f c = 0 .

Prontinho!

Resposta

Como - 1 < 0 < 1 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 0 ,   1 ) há um número c tal que f c = 0 . Dessa forma, existe uma raiz de f ( x ) no intervalo 0 ,   1 .

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