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Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 1 4

Passo 1

Nessa questão, nós devemos fazer uso do Teste da Integral. Vocês sabem o que é? Ele é bem prático e simples! Vamos supor que a nossa função f é contínua, positiva, decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) e que a n = f ( n ) . Então, a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se e somente se a integral imprópria ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:

  1. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é convergente;
  2. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é divergente.

Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série é convergente ou divergente? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:

f x = 1 3 x - 1 4

Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) , não é? Logo, podemos usa o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:

∫ 1 ∞ 1 3 x - 1 4 d x

Passo 2

A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso??? Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!

∫ 1 ∞ 1 3 x - 1 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 3 x - 1 4 d x

Passo 3

Resolvendo a integral temos:

∫ 1 ∞ 1 3 x - 1 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 3 x - 1 4 d x

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição das variáveis. Seja u = 3 x - 1     → d u = 3 d x → d u 3 = d x . Assim:

∫ 1 ∞ 1 3 x - 1 4 d x = lim t → ∞ ⁡ 1 3 ∫ 1 t 1 u 4 d u

∫ 1 ∞ 1 3 x - 1 4 d x = lim t → ∞ ⁡ 1 3 - 1 3 u 3

Voltando para a variável original, temos:

∫ 1 ∞ 1 3 x - 1 4 d x = lim t → ∞ ⁡ 1 3 - 1 3 3 x - 1 3 1 t = l i m t → ∞ 1 3 - 1 3 3 t - 1 3 + 1 3 3 - 1 3

∫ 1 ∞ 1 3 x - 1 4 d x = 1 72

Como a integral é convergente, então, pelo Teste da Integral, a série ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 1 4 é convergente!

Resposta

A série é convergente!

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