Enunciado

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1

Passo 1

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Intergal não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = n + 2 n + 1 ↔ f x = x + 2 x + 1

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , ∞ ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Nesse nosso caso, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 →     L ' H o p i t a l   1 ≠ 0

Passo 2

Opa! Nem precisamos aplicar o Teste da Integral aqui, perceberam?

Chegamos à conclusão, pelo Teste da Divergência, que a nossa série é divergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1   é  di vergente

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