Enunciado

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n e - n

Passo 1

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = n e - n ↔ f x = x e - x

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , ∞ ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ x e - x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x e - x d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com u = x e d v = e - x d x :

∫ x ⏟ u e - x d x ⏟ d v = x ⏟ u ∙ - e - x ⏟ v - ∫ - e - x ⏟ v d x ⏟ d u = x ∙ - e - x - e - x = - 1 e x ∙ ( x + 1 )

Retornando à nossa integral imprória, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x e - x d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 e x ∙ ( x + 1 ) 1 t = lim t → ∞ ⁡ - t + 1 e t + 2 e = 2 e

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ n e - n   é convergente

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Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
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