Enunciado

Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Passo 1

Fala galerinha, tranquilidade, esse problema se baseia no teste da integral, para fazer esse teste precisamos comparar a série com uma função que obedece a algumas condições. Precisa ser decrescente, positiva e contínua, para x ≥ N , com isso saberemos que tanto a série quanto a integral convergem!

Um extra é que elas não precisam ter o mesmo valor para serem convergentes.

Passo 2

Identificar a função comparável, que seja contínua, positiva e decrescente:

f x = 1 x 2

Passo 3

Agora resolvermos a integral para x ≥ N da seguinte forma:

∫ 1 ∞ d x x 2 = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b d x x 2

Resolvendo a integral temos

lim b → ∞ ⁡ - 1 x 1 b = l i m b → ∞ - 1 b + 1

E fazendo o limite temos

= - 1 ∞ ⏝ = 0 + 1 = 1 = n ú m e r o

Como a integral associada é convergente, isso significa que a série também é

Resposta

c o n v e r g e n t e

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