Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

(1)/(5) + (1)/(8) + (1)/(11) + (1)/(14) + (1)/(17) + ...

Passo 1

Show de bola, galera...Estamos diante de uma série que pode ser escrita da seguinte forma:

(1)/(5) + (1)/(8) + (1)/(11) + (1)/(14) + (1)/(17) + ... = sum_(n = 0)^(oo) (1)/(5 + 3 n)

Beleza....Partiu usar o Teste da Integral?

Passo 2

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (1)/(5 + 3 n) harr f (x) = (1)/(5 + 3 x)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 0 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 3

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_0^(oo) f ( x ) d x = int_0^(oo) (d x)/(5 + 3 x) = underset(t -> oo)(lim) int_0^t (d x)/(5 + 3 x)

Resolvendo a integral acima, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_0^t (d x)/(5 + 3 x) = underset(t -> oo)(lim) ((ln (5 + 3 x))/(3))_0^t = underset(t -> oo)(lim) ((ln (5 + 3 x) - ln 3)/(3)) = oo

Passo 4

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

(1)/(5) + (1)/(8) + (1)/(11) + (1)/(14) + (1)/(17) + ... é divergente

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31b- Melhore essa estimativa usando ( 3 ) com n = 10 ?
Encontre todos os valores de c para os quais a seguinte série converge: ∑ n = 1 ∞ c n - 1 n + 1
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3