Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

17. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π 3 n !

Passo 1

O teste da razão é dado por:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

a n é a sequência da série que estamos aplicando o teste. Se o limite resultar em L > 1 , a serie diverge, e se der L < 1 , a série converge.

Usando ele na série dada ficamos com:

L = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ ( n + 1 ) π 3 ( n + 1 ) ! cos ⁡ n π 3 n ! = l i m n → ∞ cos ⁡ ( n + 1 ) π 3 ( n + 1 ) ! n ! cos ⁡ n π 3

Passo 2

Vamos reescrever só o cosseno do denominador:

cos ⁡ ( n + 1 ) π 3 = cos ⁡ n π 3 + π 3 = cos ⁡ n π 3 cos ⁡ π 3 + s e n n π 3 s e n π 3

Como:

cos ⁡ π 3 = 1 2

E:

s e n π 3 = 3 2

Ficamos com:

cos ⁡ n π 3 + π 3 = 1 2 cos ⁡ n π 3 + 3 2 s e n n π 3

Além disso sabemos que os termos q têm n , são sempre multiplicadas por n = 0,1 , 2 , … , então sempre serão múltiplos de 60 ° , ou seja, a única coisa que mudará entre eles é o sinal, mas como o teste da razão aplica o módulo, os valores sempre serão positivos, assim:

L = l i m n → ∞ 1 2 cos ⁡ n π 3 + 3 2 s e n n π 3 ( n + 1 ) ! ∙ n ! cos ⁡ n π 3 = l i m n → ∞ 1 2 1 2 + 3 2 3 2 ( n + 1 ) ! ∙ n ! 1 2

Juntando tudo e depois simplificando:

L = l i m n → ∞ 1 4 + 3 4 n ! 1 2 ( n + 1 ) ! = l i m n → ∞ 2 n ! ( n + 1 ) !

Passo 3

Se aplicarmos o limite agora, teremos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , vamos abrir uma vez o fatorial do denominador:

L = l i m n → ∞ 2 n ! n + 1 n !

E depois simplificamos n ! :

L = l i m n → ∞ 2 n + 1

Passo 4

Agora sim podemos aplicar o limite, como só tem n no denominador, a razão tende para zero e:

L = 0

Que é menor que 1, então a série é absolutamente convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 2 ∞ 1 n 1 + n
Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ s e n n 1 n
Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ e 2 + 1 n n + 1
Nem o teste da razão nem o teste da raiz ajudam quando lidamos com séries p. Experimente-os em ∑ n = 1 ∞ 1 n p e mostre que nenhum dos dois testes nos dá informações sobre a convergência da série.
Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n n 2 n 2