Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 17
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
17.
Passo 1
O teste da razão é dado por:
é a sequência da série que estamos aplicando o teste. Se o limite resultar em , a serie diverge, e se der , a série converge.
Usando ele na série dada ficamos com:
Passo 2
Vamos reescrever só o cosseno do denominador:
Como:
E:
Ficamos com:
Além disso sabemos que os termos q têm , são sempre multiplicadas por , então sempre serão múltiplos de , ou seja, a única coisa que mudará entre eles é o sinal, mas como o teste da razão aplica o módulo, os valores sempre serão positivos, assim:
Juntando tudo e depois simplificando:
Passo 3
Se aplicarmos o limite agora, teremos uma indeterminação do tipo , vamos abrir uma vez o fatorial do denominador:
E depois simplificamos :
Passo 4
Agora sim podemos aplicar o limite, como só tem no denominador, a razão tende para zero e:
Que é menor que 1, então a série é absolutamente convergente.
Resposta
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