Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

23. ∑ n = 1 ∞ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ⋯ ∙ ( 2 n ) n !

Passo 1

Pelo teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Dizemos que a série é convergente se L < 1 e divergente se L > 1 .

Aplicando ele na série dada, ficamos com:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ⋯ ∙ ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ! 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ⋯ ∙ ( 2 n ) n ! = l i m n → ∞ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ⋯ ∙ ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ! n ! 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ⋯ ∙ ( 2 n )

Vamos simplificar os termos iguais no numerador e no denominador:

L = l i m n → ∞ ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ! n ! 1 = l i m n → ∞ ( 2 n + 1 ) n ! ( n + 1 ) !

Tirando do módulo não muda nada, porque todos os termos são positivos:

L = l i m n → ∞ ( 2 n + 1 ) n ! ( n + 1 ) !

Passo 2

Se tentarmos aplicar o limite, teremos uma indeterminação ∞ / ∞ , então vamos abrir o fatorial no denominador para simplificarmos o n ! :

L = l i m n → ∞ ( 2 n + 1 ) n ! ( n + 1 ) n ! = l i m n → ∞ 2 n + 1 n + 1

Ainda assim, teremos uma indeterminação, vamos então colocar o n em evidência no denominador e no numerador para podermos escapar dela:

L = l i m n → ∞ n 2 + 1 n n 1 + 1 n = l i m n → ∞ 2 + 1 n 1 + 1 n

Passo 3

Agora sim a gente aplica o limite, os termos 1 / n   tenderão para zero, sobrando só:

L = 2

Que é maior que 1, portanto, a nossa série é divergente.

Resposta

L = 2

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