Enunciado

Use the Divergence Theorem to calculate the surface integral   ∫ ∫ F     d S ; that is, calculate the flux of F across S

F x ,   y ,   z =   x y + 2 x z i + x 3 +   y 2   j + x y - z 2   k , S is the surface of the solid bounded by the x 2 +   y 2 = 4   and the plane z = y - 2 and z = 0

Passo 1

Temos em mãos um problema de fluxo. E para isso podemos usar o teorema de Gauss

∫ ∫ S F * d S =   ∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

O fluxo através de uma superfície é igual ao Divergente da nossa função através do volume

Passo 2

Para nos será mais fácil trabalhar com a parte em 3 dimensões

∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

Calcular o divergente é fácil, basta derivarmos parcialmente nossa função vetorial e somar

∇ .   F = d d x + d d y + d d z F

Então vamos calcular isso para

F x ,   y ,   z =   x y + 2 x z i + x 3 +   y 2   j + x y - z 2   k

∇ .   F = y + 2 z + 2 y - 2 z

∇ .   F = 3 y

Passo 3

Vamos calcular essa integral

∫ ∫ ∫ 3 y d V

O volume é de um cilindro. Então vamos precisar sermos sagazes aqui. Já que nossa região é circular, trabalhar em coordenadas polares será de grande ajuda. Então vamos trocar de nosso sistema de x , y , z → r , θ , z . E como a forma como medimos o espaço vai mudar, vamos ter que adicionar um fator de correção espacial – O jacobiano. O jacobiano de Polares é já tabelado – Multiplicamos por r .

Vamos usar a seguinte relação para trocar de variáveis

x 2 + y 2 = r 2

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ  

Então vamos la \o/

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 r s e n   θ - 2   3 r s e n   θ r d z d r d θ

Nossos limites de integração variam assim , z cresce de 0 até o plano z = y - 2 .O ângulo θ da uma volta completa então vai de [ 0,2 π ] e r cresce de [ 0,2 ] . Prontinho montamos todos os nossos limites vamos calcular

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 s e n   θ r s e n θ - 2 d r d θ

=   3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 s e n 2 θ - 2 r 2 s e n θ   d r d θ

=   3 ∫ 0 2 π r 4 4 s e n 2 θ - 2 r 3 3 s e n θ     0 2   d θ  

=   3 ∫ 0 2 π 4 s e n 2 θ - 16 3 s e n θ     0 2   d θ    

  = 3       2 θ - 1 2 s e n 2 θ + 16 3 cos ⁡ θ 0 2 π

= 12 π

Uma dica, a integral de seno e cosseno no intervalo de um ciclo completo 0,2 π   ou   [ 0,4 π ] , vai ser sempre zero. Afinal estamos calculando áreas e senos e cossenos depois de um ciclo completo tem metade da área do lado positivo do gráfico e metade do lado negativo, assim eles se anulam. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S F * d S = 12 π

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