Enunciado

Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.

y ∂ f ∂ x - x ∂ f ∂ y = 0

Passo 1

A questão pede para acharmos soluções da equação diferencial parcial dada:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0

A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:

y ,   - x ⋅ ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 0

Ou ainda,

y ,   - x ⋅ ∇ f = 0

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível para todo ( x , y ) no domínio de f e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor ( y , - x ) , temos que, em todos os pontos, o vetor ( y , - x ) é tangente às curvas de nível.

Note que agora o vetor tangente não é constante, de modo que as curvas de nível de f não serão retas!

Passo 3

Observe que se fizermos o produto escalar:

x , y ⋅ y , - x = x y - x y = 0

Assim, o vetor tangente é sempre perpendicular ao vetor “posição”. Que curva satisfaz essa propriedade? A circunferência!

Portanto, as curvas de nível dessa função são do tipo

x 2 + y 2 = R 2

Desta forma, o valor da função no ponto x , y depende apenas de qual circunferência o ponto ( x , y ) está, isto é, depende apenas da distância deste ponto até a origem. Assim, temos que a solução mais geral possível para a equação diferencial parcial é do tipo

f x , y = g x 2 + y 2 ,

onde g é uma função derivável.

Resposta

f x , y = g x 2 + y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A derivada de ƒ(x, y) em P0(1, 2) na direção de i + j é 212 e na direção de –2j é –3. Qual é a derivada de ƒ na direção de –i – 2j? Justifique sua resposta.
Derivada direcional zero Em qual direção a derivada de ƒ(x, y) = xy + y2 em P(3, 2) é igual a zero?
Variação de temperatura ao longo de uma circunferência Existe uma direção u na qual a taxa de variação da função de temperatura T(x, y, z) = 2xy – yz (temperatura em graus Celsius, distância em pés) e
Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções. g x , y , z = ln ⁡ x y + ln ⁡
A derivada de ƒ(x, y, z) em um ponto P é máxima na direção de v = i + j – k. Nessa direção, o valor da derivada é 2 3 .a. Quem é ∇ f em P? Justifique sua resposta.b. Qual é a derivada de ƒ em P na dir