Enunciado

Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.

Passo 1

Através da integral dupla, tem-se que a área de um conjunto é dada por:

A = ∫ ∫ B d x d y

Ou:

A = ∫ a b ∫ c y d y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado pela inequação x 3 ≤ y ≤ x . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 1

Tal que o valor de y será determinado nesta parte por:

x 3 ≤ y ≤ x

E:

0 ≤ x ≤ 1

E, para determinar o valor de y neste caso:

y 2 ≤ x ≤ y 3

Passo 2

Logo, a área será dada por:

A = ∫ 0 1 ∫ x 3 x d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

A = ∫ 0 1 y | y = x y = x 3 d x

Substituindo o intervalo de integração:

A = ∫ 0 1 x - x 3 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x :

A = 2 3 x 3 / 2 - x 4 4 | x = 1 x = 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

A = 2 3 - 1 4

A = 8 - 3 12

A = 5 12

Resposta

5 12

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