Enunciado

Utilize o computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a garantir que a visualização é verdadeira.

r → t = < s e n t , c o s t , t 2 >

Passo 1

A partir das equações paramétricas, e analisando suas interseções com os planos coordenados podemos descobrir a forma da curva.

Passo 2

No plano xy, temos uma circunferência de raio 1, pois:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = x 2 + y 2 = 1 2

Porém se analisarmos o eixo z, teremos um fator que cresce com o quadrado de t, ou seja, de forma não linear. Termos assim uma hélice que cresce em torno do eixo z, delimitada pelo cilindro de base unitária que também cresce em torno de z.

Passo 3

Resposta

A curva dada é uma hélice em torno do eixo z.

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Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x = t
(a) Determine o ponto de intersecção das retas tangentes à curva r t = ( s e nπ t ,2s e nπ t , cos ⁡ π t ) nos pontos t = 0 e t = 0,5 .(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.
Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x = 2
As curvas r 1 ( t ) = ( t ,t 2 , t 3 ) e r 2 t = ( s e nt ,s e n2 t ,t ) se interceptam na origem. Determine o ângulo de intersecção destas com precisão de um grau.
Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.(Use sua calculadora para aproximar a integral.) r t = t , ln ⁡ t ,t ln ⁡ t , 1 ≤ t ≤ 2