Enunciado

14.16. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v

f x , y , z = x y + z ,     4,1 , 1     v = < 1,2 , 3 >

Passo 1

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Então vamos começar calculando

∇ f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z z = 1 y + z i + - x y + z 2 j + - x y + z 2 k

E precisamos também do u que é um vetor unitário na direção de v . Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma

u = v v = 1 i + 2 j + 3 k 1 2 + 2 2 + 3 2 = 1 14 1 i + 2 j + 3 k

Passo 2

Agora é só colocar na equação

D u f 4,1 , 1 = ∇ f 4,1 , 1 ⋅ u

D u f 4,1 , 1 = 1 1 + 1 i + - 4 1 + 1 2 j + - 4 1 + 1 2 k ⋅ 1 14 1 i + 2 j + 3 k

D u f 4,1 , 1 = 1 2 i - 1 j - 1 k ⋅ 1 14 1 i + 2 j + 3 k

Fazendo esse produto escalar

D u f 4,1 , 1 = - 9 2 14

E terminamos.

Resposta

D u f 4,1 , 1 = - 9 2 14

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