Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

  1. Determine o volume do sólido que o cilindro r = a cos ⁡ θ corta da esfera de raio a centrada na origem.
  2. Ilustre o sólido da parte (a) desenhando a esfera e o cilindro na mesma tela.

Passo 1

  1. A região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:
  2. E = r , θ , z | - π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,   0 ≤ r ≤ a cos ⁡ θ , - a 2 - r 2 ≤ z ≤ a 2 - r 2

    Passo 2

    Vamos calcular a integral:

    V = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a cos ⁡ θ ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 r d z d r d θ = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 a cos ⁡ θ ∫ 0 a 2 - r 2 r d z d r d θ = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 a cos ⁡ θ r z 0 a 2 - r 2 d r d θ = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 a cos ⁡ θ r a 2 - r 2   d r d θ = - 4 3 ∫ 0 π 2 a 2 - r 2 3 2 0 a cos ⁡ θ d θ = - 4 3 ∫ 0 π 2 a 2 - a 2 cos 2 ⁡ θ 3 2 - a 3   d θ = - 4 3 ∫ 0 π 2 a 2 1 - cos 2 ⁡ θ 3 2 - a 3   d θ = - 4 3 ∫ 0 π 2 a 2 sen 2 ⁡ θ 3 2 - a 3   d θ = 4 3 ∫ 0 π 2 - a 3 sen 3 ⁡ θ + a 3   d θ = 4 3 ∫ 0 π 2 - a 3 sen 3 ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 2 a 3   d θ

    Passo 3

    Vamos calcular as duas separadamente, com a segunda é simples:

    ∫ 0 π 2 a 3   d θ = a 3 θ 0 π 2 = a 3 π 2 - a 3 . 0 = π a 3 2

    Com a primeira vamos fazer uma manipulação:

    ∫ 0 π 2 - a 3 sen 3 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 - a 3 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 - a 3 1 - cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

    Vamos agora usar substituição:

    t = cos ⁡ θ

    d t = - sen ⁡ θ d θ

    Assim vamos ter:

    ∫ 0 π 2 - a 3 1 - cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = ∫ 1 0 a 3 1 - t 2 d t = a 3 t - t 3 3 1 0 = a 3 0 - 0 3 3 - 1 - 1 3 3 = - 2 a 3 3

    Passo 4

    Juntando agora:

    V = 4 3 ∫ 0 π 2 - a 3 sen 3 ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 2 a 3   d θ = 4 3 - 2 a 3 3 + π a 3 2 = - 8 a 3 9 + 2 π a 3 3

    Passo 5

  3. Temos aqui a ilustração o sólido:

Resposta

  1. V = - 8 a 3 9 + 2 π a 3 3

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