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Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo.

{ ( x , y ) | 1 < x 2 + y 2 < 4 }

Passo 1

O conjunto dado pode ser representado pela parte pintada no gráfico

Que é limitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , mas não possui os pontos de fronteira.

  1. Ele é aberto? De forma prática, podemos dizer que para ser aberto o conjunto não pode conter os valores de fronteira, então ele é sim aberto.
  2. Passo 2

  3. Para ser conexo, precisamos de um caminho qualquer que ligue dois pontos genéricos, de forma que esse caminho esteja todo contido no conjunto. Mas o que bulhufas isso quer dizer? Basicamente o conjunto não pode estar dividido em pedaços desconectados.
  4. Como nossa restrição não divide o conjunto em 2 ou mais partes, ele é conexo.

    Passo 3

  5. Para ser simplesmente conexo ele além de ser conexo, não pode ter furos dentro do conjunto, de forma um pouco formal, mas bem pouco mesmo, se pegarmos um caminho fechado qualquer do conjunto, a área interna desse caminho só pode conter valores do conjunto

Como o conjunto tem um furo, que é a circunferência x 2 + y 2 = 1 , ele não é simplesmente conexo.

Resposta

  1. Sim
  2. Sim
  3. Não

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