Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro x ² + y ² = 1 como da esfera x ² + y ² + z ² = 4   .

Passo 1

A região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:

E = r , θ , z |   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ 1 , -   4 - r 2 ≤ z ≤ 4 - r 2

Em coordenadas cilíndricas temos a região sólida dentro do cilindro delimitado acima e abaixo

pela esfera r 2 + z 2 = 4 .

Passo 2

Vamos calcular a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ -   4 - r 2 4 - r 2 r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z -   4 - r 2 4 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 4 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 1 2 r 4 - r 2 d r = θ 0 2 π - 2 3 4 - r 2 3 2 0 1 = 4 π 3 8 3 2 - 3 3 / 2 = 4 π 3 8 - 3 3 / 2

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ -   4 - r 2 4 - r 2 r d z d r d θ = 4 π 3 8 - 3 3 / 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Cilindro e planos Encontre o volume da região delimitadapelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos z = 0 e y + z = 4.
Esfera e cilindro Encontre o volume da região que está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 2 e fora do cilindro x2 + y2 = 1.
Esfera e paraboloide Encontre o volume da região delimitada acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 2 e abaixo pelo paraboloide z = x2 + y2.
Como as integrais triplas são definidas em coordenadas cilíndricas e esféricas? Por que alguém poderia preferir trabalharem um desses sistemas de coordenadas a trabalhar em coordenadas retangulares?
Semicilindro infinito Seja D o interior de um semicilindro circular reto infinito de raio 1 , com sua extremidade suspensa a uma unidade acima da origem e seu eixo igual ao raio entre ( 0,0 , 1 ) e ∞