Enunciado

39- Utilize as coordenadas esféricas para achar

underset((x , y , z) -> (0,0 , 0))(lim) (x y z)/(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas cartesianas da seguinte maneira.

z = r c o s varphi

y = r s i n varphi sin theta

x = r s i n varphi cos theta

x^2 + y^2 + z^2 = r

Logo se aplicarmos o limite na quarta equação com x = y = z = 0 nós teremos:

r = 0

Ou seja o limite será:

underset(r -> 0)(lim) f ( r , varphi , theta )

Pois x , y e z em coordenadas esféricas ditam o comportamento de r em coordenadas esféricas. Os ângulos diretores são consequência do tamanho de r .

Passo 2

Substituindo x , y e z em funções de r , theta e varphi e aplicando o limite:

underset(r -> 0)(lim) (( r cos varphi ) ( r sin varphi sin theta ) ( r sin varphi cos theta ))/(r^2)

underset(r -> 0)(lim) (r^3)/(r^2) ( sin^2 varphi cos varphi sin theta cos theta ) = underset(r -> 0)(lim) r ( sin^2 varphi cos varphi sin theta cos theta ) = 0

Resposta

0

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