Enunciado

Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → - 5 ⁡ 1 x + 5 2 =   ∞

Passo 1

Temos que calcular o limite da função, então é só aplicar aquelas propriedades né? Não! Temos que calcular o limite sem aplicar limite na função.

É estranho eu sei. Mas dando uma folheada nas páginas do livro, podemos encontrar a definição de limite no infinito. Mas não precisa ir lá procurar , vou te dizer aqui.

lim x x 0   f x =   quando para todo B > 0 ,     e xiste um δ > 0 , tal que x - x 0 < δ temos que f x >   B .

Sabendo que o limite é , é preciso que encontremos um número δ , de maneira que para qualquer número B > 0   sempre que a distancia entra x e x 0 é menor que ele, f x > B   .

Vamos pra as contas, acho que você vai entender melhor.

Precisamos que se x - ( - 5 ) = | x + 5 | < δ

f x >   B

Ou seja,

1 x + 5 2 > B   ⇒ x + 5 2 < 1 B   ⇒ x + 5 < 1 B

x + 5 < δ   Como é existe δ então, podemos escolher de maneira que funcione o nosso objetivo. Só ligar as coisas e escolher o δ certo.

Só tomar δ = 1 B   .

E agora é só escrever bonitinho assim para garantir o 10.

Dado B > 0 existe δ = 1 B   tal que sempre que x + 5 < δ , temos que

f x > B

De fato,

x + 5 < δ   ⇒ x + 5 < 1 B     ⇒ 1 x + 5 > B   ⇒ 1 x + 5 2 > B   ⇒ f x > B

Resposta

Dado B > 0 existe δ = 1 B   tal que sempre que x + 5 < δ , temos que

f x > B

De fato,

x + 5 < δ   ⇒ x + 5 < 1 B     ⇒ 1 x + 5 > B   ⇒ 1 x + 5 2 > B   ⇒ f x > B

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