Enunciado

Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 0 ⁡ - 1 x 2 =   - ∞

Passo 1

Temos que calcular o limite da função, então é só aplicar aquelas propriedades né? Não! Temos que calcular o limite sem aplicar limite na função.

É estranho eu sei. Mas dando uma folheada nas páginas do livro, podemos encontrar a definição de limite no infinito. Mas não precisa ir lá procurar , vou te dizer aqui.

lim x x 0   f x =   - quando para todo - B < 0 ,     e xiste um δ > 0 , tal que x - x 0 < δ temos que f x < - B .

Sabendo que o limite é - ∞ , é preciso que encontremos um número δ , de maneira que para qualquer número B > 0   sempre que a distancia entra x e x 0 é menor que ele, f x < - B   .

Vamos pra as contas, acho que você vai entender melhor.

Precisamos que se x - 0 < δ

f x >   - B

Ou seja,

- 1 x 2 <   - B   ⇒   1 x 2 >   B     ⇒ x 2 < 1 B   ⇒ x < 1 B

x - 0 < δ   x < δ . Como δ é qualquer, podemos escolher, de maneira que funcione o nosso objetivo. Só ligar as coisas e escolher o δ certo.

Só tomar δ =   1 B   .

E agora é só escrever bonitinho assim para garantir o 10.

Dado B > 0 existe δ =   1 B   tal que sempre que x - 0 < δ , temos que

f x < - B

De fato,

x - 0 < δ   ⇒ x < 1 B   ⇒ x 2 < 1 B   ⇒   1 x 2 >   B   ⇒   - 1 x 2 <   - B     ⇒   f x < - B

Resposta

Dado B > 0 existe δ =   1 ϵ   tal que sempre que x - 0 < δ , temos que

f x < - B

De fato,

x - 0 < δ   ⇒ x < 1 B   ⇒ x 2 < 1 B   ⇒   1 x 2 >   B   ⇒   - 1 x 2 <   - B     ⇒   f x < - B

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