Enunciado

Utilize uma ferramenta gráfica para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.

f x , y = x 4 + y 4 + 4 x 2 y + 2 y

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = x 4 + y 4 + 4 x 2 y + 2 y

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = 4 x 3 + 8 x y

f y = 4 y 3 + 4 x 2 + 2

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim,

4 x 3 + 8 x y = 0 4 y 3 + 4 x 2 + 2 = 0

Note que o problema pede para usarmos uma ferramente gráfica para resolver esse sistema e achar os pontos críticos. No MATHEMATICA, encontrei as seguintes soluções para o sistema:

- 1,747 ,   - 1,526 ,               1,747 ,   - 1,526           e           ( 0 ,   - 0,794 )

Passo 2

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = 8 y

f y y = 12 y 2

f x y = f y x = 8 x

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = 8 y 8 x 8 x 12 y 2

Logo,

D = 96 y 3 - 64 x 2 = 32 ( 3 y 3 - 2 x 2 )

Para ( ± 1,747 ,   - 1,526 ) , temos que

D = 32 ⋅ - 3 ⋅ 1,526 3 - 2 ⋅ 1,747 2 < 0

Tratam-se de pontos de sela!

Já para ( 0 ,   - 0,794 ) , temos

D = 32 - 3 ⋅ 0,794 3 - 0 < 0

Assim, os três pontos críticos são pontos de sela!

Passo 3

Como a função não tem máximos e mínimos locais e é bem comportada (derivável em todos os pontos, etc...), ela não apresenta nem máximo nem mínimo global!

Resposta

- 1,747 ,   - 1,526 ,               1,747 ,   - 1,526           e           ( 0 ,   - 0,794 )     →   p o n t o s   d e   s e l a

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