Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 28
Utilize uma ferramenta gráfica para encontrar os pontos críticos de com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.
Passo 1
A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim,
Note que o problema pede para usarmos uma ferramente gráfica para resolver esse sistema e achar os pontos críticos. No MATHEMATICA, encontrei as seguintes soluções para o sistema:
Passo 2
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante hessiano será
Logo,
Plotando o gráfico de em função de , obtemos
Vemos que para o ponto , . Portanto esse ponto é um ponto de sela.
Já para os outro dois, e : são mínimos locais!
Passo 3
Para verificar se os mínimos locais são globais vamos plotar o gráfico da função na região que contem todos os pontos críticos:
Observando o gráfico, vemos que e de fato podem ser mínimos globais, basta ver em qual deles a função assume o menor valor. Fora dessa região a função sempre cresce já que ela não tem mais pontos críticos além desses três. Além disso, note que o ponto de fato é um ponto de sela: na direção ele é mínimo, porém na ele é máximo...
Assim, o mínimo global ocorrem em .