Enunciado

Utilize uma ferramenta gráfica para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.

f x , y = y 6 - 2 y 4 + x 2 - y 2 + y

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = y 6 - 2 y 4 + x 2 - y 2 + y

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = 2 x

f y = 6 y 5 - 8 y 3 - 2 y + 1

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim,

2 x = 0 6 y 5 - 8 y 3 - 2 y + 1 = 0

Note que o problema pede para usarmos uma ferramente gráfica para resolver esse sistema e achar os pontos críticos. No MATHEMATICA, encontrei as seguintes soluções para o sistema:

0 ,   - 1,273 ,               0 ,   0,347           e           ( 0 ,   1,211 )

Passo 2

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = 2

f y y = 30 y 4 - 24 y 2 - 2

f x y = f y x = 0

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = 2 0 0 30 y 4 - 24 y 2 - 2

Logo,

D = 4 ( 15 y 4 - 12 y 2 - 1 )

Plotando o gráfico de D em função de y , obtemos

Vemos que para o ponto 0 ,   0,347 , D < 0 . Portanto esse ponto é um ponto de sela.

Já para os outro dois, D > 0 e f x x > 0 : são mínimos locais!

Passo 3

Para verificar se os mínimos locais são globais vamos plotar o gráfico da função na região que contem todos os pontos críticos:

Observando o gráfico, vemos que 0 ,   - 1,273 e ( 0 ,   1,211 ) de fato podem ser mínimos globais, basta ver em qual deles a função assume o menor valor. Fora dessa região a função sempre cresce já que ela não tem mais pontos críticos além desses três. Além disso, note que o ponto ( 0 ,   0,347 ) de fato é um ponto de sela: na direção x ele é mínimo, porém na y ele é máximo...

f 0 ,   - 1,273 = - 3,89

f 0 ,   1,211 = - 1,403

Assim, o mínimo global ocorrem em f 0 ,   - 1,273 = - 3,89 .

Resposta

0 ,   0,347     →   p o n t o s   d e   s e l a

0 ,   - 1,273             e           0 ,   1,211     →         m í n i m o s   l o c a i s

f 0 ,   - 1,273 = - 3,89       →       m í n i m o   g l o b a l

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de dela da função. f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. f x , y = ( x - y ) ( 1 - x y )