Enunciado

Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Use o gráfico para fazer uma estimativa aproximada da soma da série. Em seguida, use o Teorema de Estimativa de Séries Alternadas para estimar a soma correta para quatro casas decimais.

∑ n = 1 ∞ - 0,8 n n !

Passo 1

Precisamos começar esboçando os gráficos. Para isto, será necessário utilizarmos softwares. A partir do momento que obtivermos o gráfico, se o valor do somatório tender a uma reta horizontal, isto é, valor constante, verifica-se visualmente que a série é convergente.

Se queremos estimar a soma da série com quatro casa decimais, precisamos que o erro envolvido seja de 5 casas decimais. Para isto, precisamos determinar o valor de n tal que:

R n = s - s n ≤ b n + 1 < 0,0001

Passo 2

Vejamos inicialmente o gráfico contendo tanto a sequência de termos quanto as somas parciais.

Como o valor de s n fica constante, podemos pegar o valor da coordenada y de algum desses pontos, e assim obter que s n ≅ - 0,55067 .

Passo 3

Para avaliarmos o Teste de Estimativa de Soma, vamos começar escrevendo os primeiros termos deste somatório. Portanto, a soma será

∑ n = 1 ∞ - 0,8 n n ! = - 0,8 1 + 0,64 2 - 0,512 6 + 0,4096 24 - 0,32768 120 + 0,262144 720 - 0,2097152 5040 + …

Como,

b 7 = - 0,2097152 5040 = 0,0000416 < 0,0001

E

s 6 ≈ - 0,5506

Isto é, como o erro é menor que 0,001, ele não afeta a quarta casa decimal da nossa soma. Portanto,

s = - 0,5506

Resposta

Pelo gráfico, estimamos que s n ≅ - 0,55067

Já a partir do teste de estimativa, temos s = - 0,5506

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Teste a serie quanto a convergência ou divergência: ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . n . e - n