Enunciado

Utilize a fórmula de mudança de variáveis e uma transformação adequada para calcular ∫ ∫ R x y   d A , onde R é o quadrado com vértices ( 0 ,   0 ) ,   ( 1 ,   1 ) ,   ( 2 ,   0 )   e   ( 1 ,   - 1 ) .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, a questão pede para que utilizemos uma transformação adequada para poder encontrar o valor da integral, então, não há pra onde correr, se quisermos resolver a questão de forma correta devemos proceder como o enunciado nos pede. Bom, a transformação que vamos utilizar é a seguinte

u = y - x v = x + y

Somando as duas equações encontramos

2 y = u + v → y = u + v 2

Subtraindo ambas temos

- 2 x = u - v → x = v - u 2

Portanto, teremos

∂ x , y ∂ u , v = 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 = 1 2

Que é o nosso jacobiano para essa transformação e R é a imagem da nossa transformação no quadrado com os vértices dado no problema.

Passo 2

Pronto, agora podemos escrever nossa integral desejada e assim resolvê-la

∫ ∫ R x y   d A = ∫ 0 2 ∫ - 2 0 v 2 - u 2 4 ⋅ 1 2   d u   d v = 1 8 ⋅ ∫ 0 2 v 2 u - u 3 3 - 2 0 d v

1 8 ⋅ ∫ 0 2 2 v 2 - 8 3 3 - 2 0 d v = 1 8 ⋅ 2 v 3 3 - 8 v 3 0 2 = 0

Pronto, tá resolvido nosso problema. Esse resultado poderia ter sido antecipado tendo em vista que estamos trabalhando com uma função ímpar no integrando e R é simétrica em relação ao eixo x .

Resposta

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Considere a aplicação definida por x = u v e y = v - u Calcule a a área de D .
Calcule ∫ ∫ D 2 x + 1d x d y , onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada por y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .
Considere a aplicação definida por x = u v e y = v - u Determine a imagem D no plano x y do retângulo R no plano u v de vértices 0,1 , 1,1 , 1,2 e 0,2 .
Calcue ∫ ∫ D cos ⁡ x - y x + y d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por x + y = 1 , x = 0 e y = 0 .
Considere a aplicação g definida pelas equações x = u + v e y = v - u 2 Utilizando g , calcule ∫ ∫ D x - y + 1 4 - 1 2 d x d y , onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas