Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 51
Utilize a fórmula de mudança de variáveis e uma transformação adequada para calcular , onde é o quadrado com vértices .
Passo 1
E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, a questão pede para que utilizemos uma transformação adequada para poder encontrar o valor da integral, então, não há pra onde correr, se quisermos resolver a questão de forma correta devemos proceder como o enunciado nos pede. Bom, a transformação que vamos utilizar é a seguinte
Somando as duas equações encontramos
Subtraindo ambas temos
Portanto, teremos
Que é o nosso jacobiano para essa transformação e é a imagem da nossa transformação no quadrado com os vértices dado no problema.
Passo 2
Pronto, agora podemos escrever nossa integral desejada e assim resolvê-la
Pronto, tá resolvido nosso problema. Esse resultado poderia ter sido antecipado tendo em vista que estamos trabalhando com uma função ímpar no integrando e é simétrica em relação ao eixo .