Enunciado

Utilize coordenadas esféricas para calcular

int_(- 2)^2 int_0^(sqrt(4 - y^2)) int_(- sqrt(4 - x^2 - y^2))^(sqrt(4 - x^2 - y^2)) y^2 * sqrt(x^2 + y^2 + z^2) d z d x d y

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bem com vocês? Então, como a questão nos pede pra fazer uma mudança de variável para coordenadas esféricas vemos que a região de integração é o hemisfério sólido x^2 + y^2 + z^2 <= 4 , x >= 0 . Devemos lembrar como faz a mudança de variável de cartesiana para esférica e, para isso, basta seguirmos a seguinte tabela

{[[([[z = rho * cos (theta)],[x = rho * sin (varphi) * cos (theta)]])/(y = rho * sin (varphi) * sin (theta))],[J a c o b i a n o = rho^2 * sin (varphi)]])

Passo 2

Pois bem, feito isso podemos reescrever nossa integral como sendo

int_(- 2)^2 int_0^(sqrt(4 - y^2)) int_(- sqrt(4 - x^2 - y^2))^(sqrt(4 - x^2 - y^2)) y^2 * sqrt(x^2 + y^2 + z^2) d z d x d y =

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) int_0^(pi) int_0^2 (rho * sin (varphi) * sin (theta))^2 * sqrt(rho^2) * rho^2 * sin (varphi) d rho d varphi d theta =

int_((pi)/(2))^((pi)/(2)) sin^2 (theta) d theta int_0^(pi) sin^3 (varphi) d varphi int_0^2 rho^5 d rho =

[(theta)/(2) - (sin (2 theta))/(4)]_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) * [- (1)/(3) * (2 + sin^2 (varphi)) * cos (varphi)]_0^(pi) * [(rho^6)/(6)]_0^2 = ((pi)/(2)) * ((2)/(3) + (2)/(3)) * (32)/(3) = (64 pi)/(9)

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

(64 pi)/(9)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O sólido delimitado abaixo pelo plano xy, dos lados pela esferar = 2 e acima pelo cone f = p/3
Monte integrais triplas para o volume da esfera r = 2 em coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (c) retangulares.
Seja D a região no primeiro octante delimitada abaixo pelocone f = p/4 e acima pela esfera r = 3. Expresse o volume deD como uma integral tripla iterada em coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas.
Expresse o momento de inércia Iz do hemisfério sólido x2 +y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0, como uma integral iterada em coordenadas(a) cilíndricas e (b) esféricas. Em seguida, (c) encontre Iz
A porção superior cortada do sólido no Exercício 35 pelo plano xy.