Enunciado

Uma lâmina ocupa a parte do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 que está no primeiro quadrante.

a Determine o centroide lâmina.

( b ) Determine o centro de massa da lâmina se a função densidade for ρ x , y = x y 2 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, como a questão foi bem direta ao ponto com relação ao que deseja, vamos ataca-la também de forma bem direta. Dado que a massa é dada por m = π K a 2 4 para encontramos o centro de massa precisamos encontrar as coordenadas x   e   y dos mesmos. Para isso, vamos precisar calcular as seguintes integrais (em coordenadas polares)

M y = ∫ ∫ x 2 + y 2 ≤ a 2 K x   d A = K ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 2 ⋅ cos ⁡ θ   d r   d θ = K ⋅ a 3 3 ⋅ ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ   d θ = a 3 K 3

Para acharmos a coordenada do centroide em x ainda precisamos calcular a seguinte integral

M x = K ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 2 ⋅ sin ⁡ θ d r   d θ = a 3 K 3   ( p e l a   s i m e t r i a   M x = M y )

Portanto, nosso centro de massa será x - , y - dado por

x - , y - = 4 a 3 π , 4 a 3 π

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular a massa dado que nossa função densidade aqui foi fornecida é diferente. Assim, nossa massa será dada por

m = ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 4 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ sin 2 ⁡ θ   d r   d θ = sin 3 ⁡ θ 3 0 π 2 ⋅ a 5 5 = a 5 15

Então, para esse caso, nosso centroide será

M y = ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 5 ⋅ cos 2 ⁡ θ ⋅ sin 2 ⁡ θ d r   d θ = 1 8 ⋅ θ - 1 4 ⋅ sin ⁡ 4 θ 0 π 2 ⋅ a 6 6 = π a 6 96

Para acharmos a coordenada do centroide em x ainda precisamos calcular a seguinte integral

M x = ∫ 0 π 2 ∫ 0 a r 5 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ sin 3 ⁡ θ d r   d θ = 1 4 ⋅ sin 4 ⁡ θ 0 π 2 ⋅ a 6 6 = a 6 24

Portanto, nosso centro de massa será x - , y - dado por

x - , y - = 5 a π 3 3 , 5 a 8

Pronto, nossa questão tá resolvida.

Resposta

a x - , y - = 4 a 3 π , 4 a 3 π

b x - , y - = 5 a π 33 , 5 a 8

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