Enunciado

Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente.

f x , y = sen ⁡ x + sen ⁡ y + sen ⁡ x + y , 0 ≤ x ≤ π / 4 ,   0 ≤ y ≤ π / 4

Passo 1

Show de bola, galera. Nesse nosso primeiro passo nós iremos apresentar o gráfico da função. Em seguida, vamos calcular o que se pode observar do gráfico, beleza?

Passo 2

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! No Passo 3 calcularemos os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . No Passo 4 usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 3

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   cos ⁡ x + cos ⁡ x + y = 0 cos ⁡ y + cos ⁡ x + y = 0   ∴

∴ cos ⁡ x = cos ⁡ y ⇒ P o n t o s   c r í t i c o s π , π , π 3 , π 3 , 5 π 3 , 5 π 3

Passo 4

Calculemos o sinal de D = f x x f x y f y x f y y = - sen ⁡ x - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ y - sen ⁡ x + y e de f x x para os respectivos pontos críticos:

– Para x c , y c = π , π :

D = - sen ⁡ x - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ y - sen ⁡ x + y π , π = 0 0 0 0 = 0

Como D = 0 , concluímos que x c , y c = ( π , π )  é um ponto de  sela .

– Para x c , y c = π 3 , π 3 :

D = - sen ⁡ x - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ y - sen ⁡ x + y π 3 , π 3 = - 3 - 3 - 3 2 - 3 2 = 9 4 > 0

f x x π 3 , π 3 = - 3 < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , concluímos que x c , y c = π 3 , π 3  é um ponto de  máximo  local .

– Para x c , y c = 5 π 3 , 5 π 3 :

D = - sen ⁡ x - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ x + y - sen ⁡ y - sen ⁡ x + y 5 π 3 , 5 π 3 = 3 3 3 2 3 2 = 9 4 > 0

f x x 5 π 3 , 5 π 3 = 3 > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = 5 π 3 , 5 π 3  é um ponto de mínimo local .

Resposta

π , π   é   u m   p o n t o   d e   s e l a π 3 , π 3   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l 5 π 3 , 5 π 3   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

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