Calcule as integrais sem usar tabelas.

∫ 0 ∞ d x ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

Passo 1

Veja que a integral é imprópria, e podemos fazer o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b d x ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

Vamos calcular a integral através de frações parciais. Observe que podemos fazer:

d x ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = A ( x + 1 ) + B x + C ( x 2 + 1 )

E daí a gente tem:

1 = A x 2 + 1 + B x + C ( x + 1 )

1 = A x 2 + A + B x 2 + B x + C x + C

1 = x 2 A + B + x B + C + A + C

  • A + B = 0
  • B + C = 0
  • A + C = 1

E ai chegamos em: A = 1 2 ,   B = - 1 2 e   C = 1 2 .

Passo 2

Agora podemos reescrever nossa integral como:

∫ 0 b 1 2 x + 1 - x + 1 2 ( x 2 + 1 )   d x

Vamos separar as integrais agora pela propriedade da adição e multiplicar pelas constantes:

1 2 ∫ 0 b 1 x + 1 d x + 1 2 ∫ 0 b - x x 2 + 1   d x + 1 2 ∫ 0 b 1 x 2 + 1   d x

Agora vamos resolver cada integral separadamente, e depois somá-las.

Passo 3

  • 1 2 ∫ 0 b 1 x + 1 d x : lembrando que a integral de 1 x é ln ⁡ x , nesse caso temos: 1 2 ln ⁡ x + 1 ] b 0    
  • 1 2 ∫ 0 b - x x 2 + 1   d x : fazendo u = x 2 + 1 teremos d u = 2 x   d x → x d x = d u 2
  • 1 2 ∫ - d u 2 u → - 1 4 ln ⁡ u  

    E então, voltando à variável x, temos: - 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 ] b 0    

  • 1 2 ∫ 0 b 1 x 2 + 1   d x : lembrando que derivada de a r c t g   x = 1 x 2 + 1 , a integral resulta em 1 2 a r c t g   x 2 + 1 b 0    

Passo 4

Juntando tudo, temos:

1 2 ln ⁡ x + 1 - 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 + 1 2 a r c t g   x   ] b 0    

Vamos jogar no limite agora então:

lim b → ∞ ( ⁡ 1 2 ln ⁡ x + 1 - 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 + 1 2 a r c t g   x   ] b 0   )  

lim ⁡ b → ∞ ⁡   1 2 l n ⁡ ( | b + 1 | ) - 1 4 ln ⁡ b 2 + 1 + 1 2 a c r c t g   b - ( 1 2 ln ⁡ 1 - 1 4 ln ⁡ 1 + 1 2 a r c t g   0 )

A parte em negrito resulta em zero, então nos sobra:

l i m ⁡ b → ∞ - 1 2 ln ⁡ 1   - 1 4 ln ⁡ 1 + 1 2 + 1 2   π 2 = π 4

Resposta

∫ 0 ∞ d x ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = π 4

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