Enunciado

Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

Um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ .

Passo 1

A questão pede para calcularmos a área de uma região usando uma integral dupla em coordenadas polares. Sabemos que área de uma região D é dada por

A = ∬ D d A

Como em coordenadas polares d A = r   d r   d θ , temos que

A = ∬ D r   d r   d θ

Neste caso, queremos a área de um laço da rosácea r = cos ⁡ 3 θ . Esboçando essa curva com - π 2 ≤ θ ≤ π 2 , obtemos

Como estamos interessados em um laço apenas, vamos nos restringir ao intervalo - π 6 ≤ θ ≤ π 6 . Assim,

A = ∫ - π 6 π 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r   d r   d θ

Passo 2

Fazendo a integral em r :

A = 1 2 ∫ - π 6 π 6 cos 2 ⁡ 3 θ   d θ

Fazendo a mudança t = 3 θ , temos que

A = 1 6 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ t d t = 1 3 ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ t   d t = 1 6 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 t d t = π 12

Resposta

π 12

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Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:b) Círculo centrado em ( a ,0 ) de raio a .
Calcular ∬ R d x d y , onde R é delimitada pela elipse 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 . Interpretar geometricamente.
Calcular ∬ R cos ⁡ x 2 + 9 y 2 d x d y , sendo R dada por x 2 + 9 y 2 ≤ 1 e x ≥ 0 .
Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região interna à circunferência x 2 + y 2 = 4 y e externa à circunferência x 2 + y 2 = 2 y .
Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:c) Círculo centrado em ( 0 ,a ) de raio a .