Enunciado

19. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.

Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Lá da teoria, a gente sabe que o volume do sólido vai ser o seguinte:

V = ∬ D z   d A  

Onde D é o domínio de integração.

Passo 2

Da equação do cone:

z = x 2 + y 2

Passando para coordenadas polares, temos:

x 2 + y 2 = r 2 , x = r c o s ( θ ) e y = r s e n ( θ )

Logo,

z = r 2 = r

Agora vamos ver como fica o domínio.

x 2 + y 2 ≤ 4

Assim,

r 2 cos ⁡ θ + r 2 s e n θ ≤ 4

Como r > 0 :

0 ≤ r ≤ 2

Então nossa integral fica:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ⋅ r   d r   d θ

Passo 3

Da teoria, a gente sabe que pode fazer o seguinte:

V = ∫ 0 2 π d θ × ∫ 0 2 r 2 d r

Integrando:

V = θ 0 2 π × r 3 3 0 2

Logo,

V = 2 π - 0 × 2 3 3 - 0 3 3

Finalizando, temos:

V = 16 π 3

Resposta

16 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = 2 x y / ( x 2 + 1 ) e o plano z = x + 2 y e é limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 e y = 4 . Então encontre o volume.
Encontre a área da superfície.A parte do plano 6 x + 4 y + 2 z = 1 que cruza dentro do cilindro x 2 + y 2 = 25 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 2 y + 4 z - x 2 = 5 que cruza acima do triangulo com vértices 0,0 ,2,0 e2,4 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 5 x + 3 y - z + 6 = 0 que cruza acima do retângulo 1,4 × 2,6 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que cruza no primeiro octante.