Enunciado

Utilize o método de Euler com d x = 0,2 para estimar y ( 2 ) se y ' = y x e y 1 = 2 . Qual o valor exato de y 2 .

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular utilizando esse método o valor estimado de y ( 1 )

Temos as seguintes informações:

y ' = y x

y 1 = 2 ; d x = 0 , 2

Então, vamos lá:

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   2 + 2 1 0,2 = 2,4  

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 =   2,4 + 2,4 1,2 0,2 = 2,8  

vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = 2,8 + 2,8 1,4 0,2 = 3,2

vamos utilizar os valores encontrados em y 3 para encontrar y 4

y 4 = 3,2 + 3,2 1 , 6 0,2 = 3 , 6

vamos utilizar os valores encontrados em y 4 para encontrar y 5

y 5 = 3,6 + 3,6 1 , 8 0,2 = 4

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = y x

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

d y d x = y x

d y y = d x x

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y y =   ∫ d x x

ln ⁡ y = ln ⁡ x   + C

Aplicando a propriedade dos logaritmos em ambos os lados da equação, temos:

e ln ⁡ y   = e l x + C

y = k x

Passo 3

Para y 1 = 2   temos:

2 = 1 . x

x = 2

Logo,

y = 2 x

Passo 4

Agora, queremos o valo exato para y ( 2 )

y 2 = 4

Resposta

y 1 ≅ e ≅ 2,7183

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