Enunciado

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Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações do problema de valor inicial dado para o tamanho do incremento especificado. Calcule a solução exata e estude a precisão de suas aproximações. Arredonde até a quarta casa decimal.

y ' = 2 x y + y

y 0 = 3 ; d x = 0 , 2

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular as três primeiras aproximações para o problema de Valor inicial dado:

Temos as seguintes informações:

y ' = 2 x y + y

y 0 = 3 ; d x = 0,2

Então, vamos lá:

y 1 = y 0 +   2 x 0 y 0 + 2 y 0 d x

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   3 +   ( 2.0 . 3 + 2.3 ) ( 0,2 )

y 1 = 3 + 1,2 = 4,2

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 = y 1 + 2 x 1 y 1 + 2 y 1     d x

y 2 =   4,2 + [ 2 x 0,2 . 4,2 + 2 4,2 0,2

y 2 =   6,216

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = y 2 + 2 x 2 y 2 + 2 y 2 d x

y 3 = 6,216 +   2 0,4 6,216 + 2 6,216 0,2

y 3 = 6,216 + 3

y 3 = 9,69696

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = 2 x y + y

Vamos reescrever a equação da seguinte forma:

y ´ = 2 y ( x + 1 )

d y y = 2 ( x + 1 )   d x

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y y =   ∫ 2 x + 1 d x

ln ⁡ y = x + 1 2 + C

Passo 3

Para x = 0 ; y = 3   temos:

ln ⁡ 3 = 1 + C

C = ln ⁡ 3 - 1

Logo,

ln ⁡ y =   x + 1 2 + ln ⁡ 3 - 1  

Vamos aplicar a propriedade dos logaritmos para encontrar o valor de y

e ln ⁡ y =   e x + 1 2 + ln ⁡ 3 - 1

y =   e ln ⁡ 3   e x 2 + 2 x

y = 3 e x ( x + 2 )

Passo 4

Agora, vamos verificar a precisão da aproximação:

y 0,6 ≅ 14,2765

Resposta

y 0,6 ≅ 14,2765

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Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações
Utilize o método de Euler com d x = 0,2 para estimar y ( 2 ) se y ' =
Use o método de Euler com d x = 1 3   para estimar y ( 2 ) se y '
Mostre que a solução do problema de valor inicial y ' = x + y ,  
Use o método de Euler com d x = 0,5   para estimar y ( 5 ) se y '