Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 46

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível.

Vamos colocar os números tipo x ,   y   e   z .

A gente quer que o soma:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Seja máximo, desde que x + y + z = 12 .

Ou seja, nós queremos o máximo da função f com a restrição de g x , y , z = x + y + z = 12 .

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,1 , 1

2 x = λ

2 y = λ

2 z = λ

Daí a gente tira que:

2 x = 2 y = 2 z

x = y = z

Substituindo na restrição agora, temos:

x + y + z = 12

x + x + x = 12

3 x = 12

x = 4 = y = z

Os três números então são x = y = z = 4 .

Resposta

x = y = z = 4

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