Enunciado

Encontre uma equação do plano que passa pelo ponto ( 1,2 , 3 ) e corta o menor volume no primeiro octante.

Passo 1

Bom galera, vamos usar a equação do plano:

z - z 0 = a x - x 0 + b y - y 0

A gente já tem que:

x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,2 , 3 )

z - 3 = a x - 1 + b ( y - 2 )

Falta os coeficientes a e b .

Passo 2

Bom, vamos encontrar o volume V , pra isso vamos calcular os ponto de interceção:

x → 2 b + a - 3 a

y → 2 b + a - 3 b

z → 3 - a - 2 b

O volume é:

V = 1 3 x y z

V = - 2 b + a - 3 3 6 a b

Passo 3

Agora a gente pega os gradientes:

∇ V a = b 2 b + a - 3 2 2 b + a - 3 - 3 a = 0

∇ V b = a a b + a - 3 2 2 b + a - 3 - 6 b = 0

E com isso conseguimos chegar a um sisteminha:

- 2 a + 2 b = 3 a - 4 b = 0

E resolvendo encontramos:

a = - 3

b = - 3 2

Passo 4

Por fim, a gente só coloca a e b naquela equação do plano:

z - 3 = a x - 1 + b y - 2

→ z - 3 = - 3 x - 1 - 3 2 y - 2

Simplificando a gente pode escrever assim:

6 x + 3 y + 2 z = 18

Resposta

6 x + 3 y + 2 z = 18

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