Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas

f x , y = e x y ;       x 3 + y 3 = 16

Passo 1

Devemos achar os valores de λ ,   x ,   y que satisfaçam a equação ∇ f = λ ∇ g e g x , y = x 3 + y 3 = 16 . Os pares ( x , y ) resultantes serão possíveis pontos de máximo ou mínimo de f ( x , y ) dada a restrição g ( x , y ) .

O máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de f ( x , y ) .

Passo 2

∇ f = λ ∇ g

< f x , f y >   = λ < g x , g y >  

< y e x y , x e x y >   = λ < 3 x 2 , 3 y 2 >

Temos o seguinte sistema:

  1. y e x y = 3 λ x 2
  2. x e x y = 3 λ y 2
  3. x 3 + y 3 = 1 6

A gente pode perceber que quando x = 0 → y = 0 e isso contradiz nossa equação I I I , então vamos considerar que x ≠ 0 e y ≠ 0

Então temos que

λ = y e x y 3 x 2

λ = x e x y 3 y 2

Igualando os λ ' s temos que

y e x y 3 x 2 = x e x y 3 y 2

E isso nos dá que

x 3 = y 3

x = y

Passo 3

Colocando isso na nossa g ( x , y ) , temos

2 x 3 = 16

x = y = 2

Passo 4

Como temos f ( x , y ) com pontos arbitrários, quanto mais próximo de zero, seria o nosso mínimo

E o ponto máximo é no ponto 2,2

f 2,2 = e 2 ⋅ 2 = e 4

Resposta

O máximo é f 2,2 = e 4

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