Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y = 3 x + y ;                   x 2 + y 2 = 10

Passo 1

Falaiiiiiii, vamo lá encontrar os máximos e mínimos da nossa função usando a restrição?! Simbora!

Cara, essa restrição ai podemos escrever como:

g x , y = x 2 + y 2 - 10 = 0

Temos que os extremos vão ter de seguir o seguinte:

∇ f = λ   .   ∇ g

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções! Primeiro com:

f x , y = 3 x + y

f x = d d x   3 x + y f y = d d y   3 x + y

f x = 3 f y = 1

∇ f = 3,1

Agora vamos para a função g x , y :

g x , y = x 2 + y 2 - 10

g x = d d x   x 2 + y 2 - 10 g y = d d y   x 2 + y 2 - 10

g x = 2 x g y = 2 y

∇ g = ( 2 x , 2 y )

Passo 2

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação. Veja só:

3,1 = λ   .   ( 2 x , 2 y )

Daí, vamos tirar que:

3 = λ   .   2 x   1 = λ   .   2 y

3 2 x = λ   1 2 y = λ

Igualando nosso λ , teremos:

3 2 x = 1 2 y

6 y = 2 x

6 y 2 = x

x = 3 y

Passo 3

Vamos voltar na nossa restrição agora e substituir x , olha só:

x 2 + y 2 = 10

3 y 2 + y 2 = 10

9 y 2 + y 2 = 10

10 y 2 = 10

y 2 = 10 10

y = 1

y = ±   1

Daí temos dois valores para x , dependendo do y :

x = 3 y

x = 3   .   - 1 x = 3   .   1

x =   - 3 x =   3

Cara, então vamos ter em - 3 ,   - 1 e   ( 3,1 ) o nosso máximo e nosso mínimo, show de bola? Mas qual deles seria o ponto máximo e qual seria o mínimo?!

É só substituir esses pontos na nossa função f x , y , e daí analisar o maior e menor valor, aí sim nós teremos o máximo e o mínimo!

Passo 4

Estamos quase acabando, vamos lá!

Em ( - 3 , - 1 ) , teremos:

f x , y = 3 x + y

f - 3 , - 1 = 3   . - 3 + - 1

f - 3 , - 1 =   - 9 - 1

f - 3 , - 1 =   - 10

E agora com ( 3,1 ) , teremos:

f x , y = 3 x + y

f 3,1 = 3   . 3 + 1

f 3,1 = 9 + 1

f 3,1 = 10

Daí, em ( 3,1 ) teremos nosso valor máximo, que é 10 . E em ( - 3 , - 1 ) teremos nosso mínimo sendo - 10 .

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

Em ( 3,1 ) teremos nosso valor máximo e em ( - 3 , - 1 ) teremos nosso mínimo.

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