Enunciado

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

w = x y + y z + z x ,             x = r cos ⁡ θ ,             y = r   s e n   θ ,             z = r θ ;

∂ w ∂ r ,     ∂ w ∂ θ               q u a n d o   r = 2     e     θ = π 2

Passo 1

O problema pede para você usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas.

Note que w é função de x , y e z . Mas estes são funções de r e θ . Desta forma, w é uma função composta:

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ r

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ θ

Vamos tomar as derivadas com relação a x , y e z :

∂ w ∂ x = y + z

∂ w ∂ y = x + z

∂ w ∂ z = x + y

Quando r = 2 e θ = π / 2 , temos que

x = 2 cos ⁡ π 2 = 0

y = 2   s e n π 2 = 2

z = 2 ⋅ π 2 = π

Assim,

∂ w ∂ x = 2 + π

∂ w ∂ y = π

∂ w ∂ z = 2

Passo 2

Agora fazemos as derivadas de x , y e z com relação a r e θ :

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ             e           ∂ x ∂ θ = - r   s e n   θ

∂ y ∂ r = s e n   θ             e           ∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

∂ z ∂ r = θ             e           ∂ z ∂ θ = r

Assim, com r = 2 e θ = π / 2 :

∂ x ∂ r = 0             e           ∂ x ∂ θ = - 2

∂ y ∂ r = 1             e           ∂ y ∂ θ = 0

∂ z ∂ r = π 2             e           ∂ z ∂ θ = 2

Passo 3

Portanto,

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ r = 2 + π ⋅ 0 + π ⋅ 1 + 2 ⋅ π 2

Logo,

∂ w ∂ r = 2 π

Analogamente,

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ θ = 2 + π ⋅ ( - 2 ) + π ⋅ 0 + 2 ⋅ 2

Portanto,

∂ w ∂ θ = - 2 π

Resposta

∂ w ∂ r = 2 π

∂ w ∂ θ = - 2 π

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