Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 42
Um fabricante modelou sua função da produção anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
onde é o número de horas trabalhadas (em milhares) e é o capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando e , a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de por ano. Encontre a taxa de variação da produção.
Passo 1
A questão fornece a função de produção
e pede para acharmos sua taxa de variação quando , e a taxa de variação de for
e a taxa de variação do capital for
Note que representa horas e representa . O mesmo vale para as taxas de variação!
O que vamos fazer é usar a regra da cadeia para encontrar
Passo 2
Tomando as derivadas parciais:
Substituindo e :
Passo 3
Desta forma,
Assim,