Enunciado

Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas

P L ,   K = 1,47   L 0,65 K 0,35

onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando L = 30 e K = 8 , a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de 2000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de $   500000 por ano. Encontre a taxa de variação da produção.

Passo 1

A questão fornece a função de produção

P L ,   K = 1,47   L 0,65 K 0,35

e pede para acharmos sua taxa de variação quando L = 30 , K = 8 e a taxa de variação de L for

d L d t = - 2

e a taxa de variação do capital for

d K d t = 0,5

Note que L = 30 representa 30000 horas e K = 8 representa $   8000000 . O mesmo vale para as taxas de variação!

O que vamos fazer é usar a regra da cadeia para encontrar

d P d t = ∂ P ∂ L ⋅ d L d t + ∂ P ∂ K ⋅ d K d t

Passo 2

Tomando as derivadas parciais:

∂ P ∂ L = 1,47 ⋅ 0,65   L - 0,35 K 0,35 = 0,9555   K L 0,35

∂ P ∂ K = 1,47 ⋅ 0,35   L 0,65 K - 0,65   = 0,5145   L K 0,65

Substituindo L = 30 e K = 8 :

∂ P ∂ L = 0,601

∂ P ∂ K = 1,215

Passo 3

Desta forma,

d P d t = ∂ P ∂ L ⋅ d L d t + ∂ P ∂ K ⋅ d K d t = 0,601 ⋅ - 2 + 1,215 ⋅ 0,5

Assim,

d P d t = - 0,5945

Resposta

d P d t = - 0,5945

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

14.20. Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis. u = f ( s , t ) , onde s = s ( w , x , y , z ) , t = t ( w , x , y
Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.18- w = f x , y , z ,o n d e x = x t , u , y = y t , u ,z = z ( t , u )
Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.19- v = f p , q , r ,o n d e p = p x , y , z , q = q x , y , z ,r = r ( x ,
Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .7- z = x 2 + x y + y 2 ,x = s + t ,y = s t
Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .8- z = x y , x = s e t ,y = 1 + s e - t