Verificar a regra da cadeia para a função

f(u, v) = uv - v^2 + 2, u = x^2 + y^2, v = x - y + xy

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f u x , y , v x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ u = v

∂ f ∂ v = u - 2 v

∂ u ∂ x = 2 x

∂ v ∂ x = 1 + y

∂ u ∂ y = 2 y

∂ v ∂ y =   - 1 + x

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = ( v ) ( 2 x ) + ( u - 2 v ) ( 1 + y )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

∂ z ∂ y =   ( v ) ( 2 y ) + ( u - 2 v ) ( - 1 + x )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x = ( x - y + x y ) ( 2 x ) + ( x 2 + y 2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( 1 + y )

∂ z ∂ y = ( x - y + x y ) ( 2 y ) + ( x 2 + y 2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( - 1 + x )

Resposta

∂ z ∂ x = ( x - y + x y ) ( 2 x ) + ( x 2 + y 2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( 1 + y )

∂ z ∂ y = ( x - y + x y ) ( 2 y ) + ( x 2 + y 2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( - 1 + x )

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