Enunciado

Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada.

D está limitada pelo laço direito da rosácea de quatro folhas r = cos ⁡ 2 θ ; ρ x , y = x 2 + y 2

Passo 1

Devemos lembrar como determinar a massa, o centro de massa e o momento de inércia.

Para massa, temos que

m = ∬ D ρ x , y d A

Enquanto o centro de massa é definido como

r ¯ = 1 m ∬ D r ρ x , y d A

Com r sem a coordenada onde estamos calculando.

Já o momento de inercia é dado por

I r = ∬ D r 2 ρ x , y d A  

Passo 2

Vamos inicialmente determinar a massa. Para isso devemos observar o domínio de nossa rosácea, onde

D = r , θ 0 ≤ r ≤ cos ⁡ 2 θ ,   - π 4 ≤ θ ≤ π 4 }  

m = ∬ D x 2 + y 2 d A = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 2   r   d r   d θ

Perceba que o termo d x   d y   =   r   d r   d θ quando fazemos a transformação de coordenadas cartesianas para polares.

Desta forma, usando um software de computação algébrica, temos que

m = 3 π 64

Passo 3

Agora vamos determinar o centro de massa. Primeiro em x

x ¯ = 1 m ∬ D x ρ x , y d A = 64 3 π ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ ( r cos ⁡ θ ) r 2   r   d r   d θ =   64 3 π ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 4 cos ⁡ θ   d r   d θ

Usando o Software de computação algébrica, temos

x ¯ = 16384 2 10395 π

Já para y

y ¯ = 1 m ∬ D y ρ x , y d A = 64 3 π ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ ( r sen ⁡ θ ) r 2   r   d r   d θ =   64 3 π ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 4 sen ⁡ θ   d r   d θ

Logo

y ¯ = 0

Desta forma o centro de massa se encontra em

x ¯ , y ¯ = 16384 2 10395 π , 0

Passo 4

Agora iremos calcular o momento de inércia

I x = ∬ D y 2 ρ x , y d A = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r   s e n   θ 2 r 2   r   d r   d θ =   ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 5   s e n 2 θ   d r   d θ

Assim

I x = 5 π 384 - 4 105

Agora pra y

I y = ∬ D x 2 ρ x , y d A = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r   c o s   θ 2 r 2   r   d r   d θ =   ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 5 cos 2 ⁡ θ   d r   d θ

Assim

I y = 5 π 384 + 4 105

Desta forma temos que

I 0 = I x + I y = 5 π 192

Resposta

m = 3 π 64

x ¯ , y ¯ = 16384 2 10395 π , 0

I 0 = I x + I y = 5 π 192

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma lamina tem a forma do triangulo de vértices (-1,0), (1,1) e (1,-1). Determinar a massa e o centro de massa da lâmina se:a) Sua densidade de massa é constanteb) Sua densidade no ponto P(x,y) é prop
Calcular o centro de massa de uma lâmina plana quadrada de 4cm de lado, com densidade de massa constante.
Calcular a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa em um ponto P(x,y) é proporcional ao quadrado da distancia desse ponto ao centro do círculo acrescida
Calcular a massa e o centro de massa de uma chapa com o fortmato de um triangulo isósceles com base 10 cm e altura 5 cm. Considerar a densidade constante
Calcular a massa e o centro de massa da chapa da figura 7.57, considerando a densidade igual a x