Enunciado

Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)

a = < 4 i -   3 j + k >           b = < 2 i - k >

Passo 1

Bom, para determinar o ângulo entre vetores há um teorema que diz: Se θ é o ângulo entre dois vetores não nulos a e b, então

cos ⁡ θ = a   ∙   b a b

“Ah, mas é só isso?” Sim, é só isso! Podemos fazer os cálculos agora :D

Fazendo o produto escalar a ∙ b :

a ∙ b = < 4 i -   3 j + k >   ∙   < 2 i - k >   = 4 2 + - 3 0 + ( 1 ) ( - 1 ) = 7

Agora para o módulo:

a = 4 2 + ( - 3 ) 2 + ( 1 ) 2 = 2 6

b = ( 2 ) 2 + 0 2 + ( - 1 ) 2 = 5

Pronto! Podemos substituir na nossa fórmula inicial

cos ⁡ θ = 7 26 ∙ 5

Calculamos o produto entre as raízes,

cos ⁡ θ = 7 130

Racionalizando,

cos ⁡ θ = 7 130 130       ∴       cos ⁡ θ = 0,61

Resolvendo isso:

θ = cos - 1 ⁡ ( 0,61 )

θ = 52 °

Finish

Resposta

θ = 52 °

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