Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 66
Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.
Passo 1
Ao investe de utilizar um Software para resolver nosso problema, vamos utilizar um método matemático para separar nossa fração, ou seja, frações parciais. Desta forma podemos entender como o software resolveria e aprendemos como fazer também.
Outra coisa importante é notar que o enunciado possui erros, onde a série deve começar de , visto que para ou os valores não existem.
Passo 2
Vamos inicialmente supor que podemos reescrever nosso polinômio de 5ª ordem da seguinte forma
Onde queremos determinar quem deveriam ser nossos , ,, e .
Se a gente abrir esse produto, que não é nada legal, vamos chegar em algo do tipo
Sim ... que conta
Entretanto agora só precisamos comparar os dois polinômios.
5 variáveis e 5 equações, logo temos um sistema possíveis e determinado.
Resolvendo-o, chegamos a seguinte solução
, , , ,
Passo 3
Nosso próximo passo agora é separa esse nosso produto em 5 frações distintas, supondo que
E agora devemos tentar determinar quem seriam , , , e para que isso seja possível.
E é neste momento que percebemos que é melhor usar um software para resumir nossa equação. Claro, talvez não tenha sido agora, mas um bem antes que vocês notaram isso, mas fazer o que hahaha.
Apelando para um software, podemos descobri que nossas variáveis serão
Assim podemos reescrever nossa série como
Passo 4
Abrindo a nossa soma, devemos perceber que todos os termos que tiverem denominador maior ou igual a , vai em algum momento se cancelar, desta forma ficamos com