Enunciado

Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.

∑ n = 3 ∞ 1 n 5 - 5 n 3 + 4 n

Passo 1

Ao investe de utilizar um Software para resolver nosso problema, vamos utilizar um método matemático para separar nossa fração, ou seja, frações parciais. Desta forma podemos entender como o software resolveria e aprendemos como fazer também.

Outra coisa importante é notar que o enunciado possui erros, onde a série deve começar de n   =   3 , visto que para n   =   1 ou 2 os valores não existem.

Passo 2

Vamos inicialmente supor que podemos reescrever nosso polinômio de 5ª ordem da seguinte forma

n 5 - 5 n 3 + 4 n = ( n + a ) ( n + b ) ( n + c ) ( n + d ) ( n + e )

Onde queremos determinar quem deveriam ser nossos a , b , c , d e e .

Se a gente abrir esse produto, que não é nada legal, vamos chegar em algo do tipo

n 5 + n 4 a + b + c + d + e + n 3 a b + a + b c + d + c d + e + n 2 a b c + d + c d a + b + a b e + a + b c + d e + c d e + n a b c d + a b e c + d + c d e a + b + a b c d e

Sim ... que conta

Entretanto agora só precisamos comparar os dois polinômios.

a + b + c + d + e = 0

a b + a + b c + d + c d + e =   - 5

a b c + d + c d a + b + a b e + a + b c + d e + c d e = 0

a b c d + a b e c + d + c d e a + b = 4

a b c d e = 0

5 variáveis e 5 equações, logo temos um sistema possíveis e determinado.

Resolvendo-o, chegamos a seguinte solução

a =   - 2 , b = 2 , c =   - 1 , d = 1 , e = 0

Passo 3

Nosso próximo passo agora é separa esse nosso produto em 5 frações distintas, supondo que

1 n 5 - 5 n 3 + 4 n = 1 n - 2 n + 2 n - 1 n + 1 n

= A n - 2 + B n + 2 + C n - 1 + D n + 1 + E n

E agora devemos tentar determinar quem seriam A , B , C , D e E para que isso seja possível.

E é neste momento que percebemos que é melhor usar um software para resumir nossa equação. Claro, talvez não tenha sido agora, mas um bem antes que vocês notaram isso, mas fazer o que hahaha.

Apelando para um software, podemos descobri que nossas variáveis serão

A =   B = 1 24

C = D = - 1 6

E = 1 4

Assim podemos reescrever nossa série como

1 24 ∑ n = 3 ∞ 1 n - 2 + 1 n + 2 - 4 n - 1 - 4 n + 1 + 6 n

Passo 4

Abrindo a nossa soma, devemos perceber que todos os termos que tiverem denominador maior ou igual a 5 , vai em algum momento se cancelar, desta forma ficamos com

s n → 1 24 1 - 3 2 + 3 3 - 1 4 = 1 24 1 4 = 1 96

Resposta

1 96

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