Enunciado

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

2. e - x / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para essa questão, podemos entender que caso temos conhecimento do valor da série de e x , podemos fazer, por substituição, a série de e - x / 2 , com isso, temos que a série de e x é igual a

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 ! + x 4 4 ! + …

Substituindo x por - 5 x , nós obtemos que

e - x / 2 = ∑ n = 0 ∞ - x / 2 n n ! = 1 + - x / 2 + - x / 2 2 2 + - x / 2 3 3 ! + - x 2 4 4 ! + …

Com isso, nós temos que

e - 5 x = 1 - x 2 + x 2 8 - x 3 48 + x 4 384 - …

Resposta

e - x / 2 = ∑ n = 0 ∞ - x / 2 n n ! = 1 - x 2 + x 2 8 - x 3 48 + x 4 384 - …

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