Enunciado

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

1 2 - x

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + …

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 2

Vamos relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

1 2 - x = 1 2 * 1 1 - 1 2 x

Logo, podemos escrever a função da nossa série como:

1 2 - x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 x n

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos:

1 2 - x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x n

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x n = 1 2 + 1 4 x + 1 8 x 2 + 1 16 x 3 + …

Resposta

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x n = 1 2 + 1 4 x + 1 8 x 2 + 1 16 x 3 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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