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Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.

∫ d y y 3 + ( ln ⁡ y ) 2

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ d y y 3 + ( ln ⁡ y ) 2

u = ln ⁡ y   d u = 1 y   d y  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ d y y 3 + ( ln ⁡ y ) 2 =   ∫ d y 3 + u 2

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração dada por:

∫ 1 a 2 + x 2   d x = ln ⁡ x + a 2 + x 2   + C

Assim:

∫ d y 3 + u 2 = ln ⁡ u + 3 + u 2   + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

ln ⁡ u + 3 + u 2   + C = ln ⁡ ( ln ⁡ y + 3 + ( ln ⁡ y ) 2   ) + C

Resposta

ln ⁡ ( ln ⁡ y + 3 + ( ln ⁡ y ) 2   ) + C

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