Calcule a integral definida abaixo:

∫ - 2 2   ⁡ 3 4 + 3 t 2     d t

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir x por uma função de u e que resulte em um dx=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

∫ - 2 2   ⁡ 3 4 + 3 t 2     d t

t = 2 3 ( u ) d t = 2 3   d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

2 = 2 3 u ⇒ 3 = u

- 2 = 2 3 u ⇒ - 3 = u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a contasnte do integrando temos:

∫ - 2 2   ⁡ 3 4 + 3 t 2     d t =   3 ∫ - 3 3   ⁡ 1 4 + 3 2 3 u 2   2 3 d u

3 × 1 4 × 2 3 ∫ - 3 3   ⁡ 1 1 + u 2   d u = 6 4 3   ∫ - 3 3   ⁡ 1 1 + u 2   d u    

Passo 3

Chegamos em uma integral que pode ser resolvida de forma direta, por ser uma primitiva trigonométrica . Assim:

6 4 3   ∫ - 3 3   ⁡ 1 1 + u 2   d u   = 6 4 3 t g - 1 u 3 - 3

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

6 4 3 t g - 1 u 3 - 3 = 6 4 3 t g - 1 3 - t g - 1 - 3 = 3 2 3 π 3 + π 3 = π 3

Resposta

π 3

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