Enunciado

Utilize a transformação u = x - y ,   v = x + y para avaliar

∫ ∫ R x - y x + y   d A

onde R é o quadrado com vértices 0 ,   2 ,   1 ,   1 ,   2 ,   2 e   1 ,   3 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, a questão pede para que utilizemos a transformação mencionada para poder encontrar o valor da integral, então, não há pra onde correr, se quisermos resolver a questão de forma correta devemos proceder como o enunciado nos pede. Então, escrevendo a transformação em forma de sistema temos

u = x - y v = x + y

Somando as duas equações encontramos

2 x = u + v → x = u + v 2

Subtraindo ambas temos

- 2 y = u - v → y = v - u 2

Portanto, teremos

∂ x , y ∂ u , v = 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 = 1 2

Que é o nosso jacobiano para essa transformação.

Passo 2

Sendo assim, nossa integral escrita de foram iterada será

∫ ∫ R x - y x + y   d A = ∫ 2 4 ∫ - 2 0 u v ⋅ 1 2   d u   d v

Resolvendo a integral mais interna teremos

∫ - 2 0 u 2 v   d u = u 2 4 v - 2 0 = - 1 v

Ficamos com

∫ 2 4 - d v v = - ln ⁡ v 2 4 = - ln ⁡ 4 + ln ⁡ 2 = - ln ⁡ 2

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

- ln ⁡ 2

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