Enunciado

a Calcule ∫ ∫ D 1 x 2 + y 2 n 2   d A , onde n é um inteiro e D é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios r e R , 0 < r < R .

b Para que valores de n a integral da parte a tem limite quando r → 0 + ?

c Determine ∫ ∫ ∫ E 1 x 2 + y 2 + z 2 n 2   d V , onde E é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios r   e   R , 0 < r < R .

d Para que valores de n da parte ( c ) tem limite quando r → 0 + ?

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, como a questão foi bem direta com relação ao enunciado vamos já começar resolvendo o exercício logo. Para o primeiro item temos que resolver a seguinte integral

∫ ∫ D 1 x 2 + y 2 n 2   d A

Como a região de integração D é limitada por círculos, vamos trabalhar com coordenadas polares onde nosso ângulo θ vai percorrer todo o plano cartesiano, ou seja, de 0   a   2 π . Além disso, vamos ter os raios variando de r e R . Para não haver confusão entre o r do raio do círculo e r das coordenadas polares vamos utilizar uma outra letra e assim, teremos

∫ 0 2 π ∫ r R k   d k   d θ k 2 n 2

Como essa integral não tem nada dependendo de θ no integrando podemos fazer

2 π ∫ r R k   d k k 2 n 2

Resolvendo a integral ficamos com

2 π ∫ r R k   d k k 2 n 2 = 2 π ⋅ k 1 - n + 1 1 - n + 1 r R = 2 π ⋅ k 2 - n 2 - n r R

Agora precisamos separar em 2 casos que são

2 π ⋅ k 2 - n 2 - n r R = 2 π 2 - n ⋅ R 2 - n - r 2 - n ,       s e               n ≠ 2 2 π ⋅ ln ⁡ R r ,   s e               n = 2

Passo 2

Nossa integral terá limite quando r → 0 + para valores de n tal que

2 - n > 0 → n < 2

Passo 3

De forma análoga ao que fizemos no item a como temos uma região limitada por esferas é natural que utilizemos coordenadas esféricas, assim, nossa integral de forma iterada passa a ser

∫ ∫ ∫ E 1 x 2 + y 2 + z 2 n 2   d V = ∫ r R ∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 ρ 2 n 2 ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ   d θ   d ϕ   d ρ

Resolvendo nossa integral mais interna, dependente de θ , vamos ter

∫ r R ∫ 0 π 2 π ρ 2 n 2 ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ     d ϕ   d ρ

Resolvendo, novamente, a integral mais interna vamos ter

∫ r R 2 π ⋅ ρ 2 - n ⋅ - cos ⁡ ϕ 0 π d ρ = ∫ r R 4 π ⋅ ρ 2 - n d ρ

Novamente precisaremos dividir em dois casos que serão

4 π ⋅ ρ 3 - n 3 - n r R = 4 π 3 - n ⋅ R 3 - n - r 3 - n ,       s e               n ≠ 3 4 π ⋅ ln ⁡ R r ,   s e               n = 3

Passo 4

Nossa integral terá limite quando r → 0 + para valores de n tal que

3 - n > 0 → n < 3

Pronto, finalmente acabou essa questão.

Resposta

a 2 π 2 - n ⋅ R 2 - n - r 2 - n ,       s e               n ≠ 2 2 π ⋅ ln ⁡ R r ,   s e               n = 2

b   n < 2

c 4 π 3 - n ⋅ R 3 - n - r 3 - n ,       s e               n ≠ 3 4 π ⋅ ln ⁡ R r ,   s e               n = 3

d   n < 3

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