Enunciado

Utilize a transformação dada para calcular a integral.

∬ R x 2 - x y + y 2 d A , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 - x y + y 2 = 2 ; x = 2 u - 2 3 v , y = 2 u + 2 3 v

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u 2 u - 2 3 v = 2

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v 2 u - 2 3 v = - 2 3

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u 2 u + 2 3 v = 2

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v 2 u + 2 3 v = 2 3

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 2 - 2 3 2 2 3 = 2 2 3 - 2 - 2 3 = 4 3

Passo 4

Vamos substituir u e v na elipse:

x 2 - x y + y 2 = 2

→ 2 u - 2 3 v 2 - 2 u - 2 3 v 2 u + 2 3 v + 2 u + 2 3 v 2 = 2

→ 2 u 2 + 2 v 2 = 2

→ u 2 + v 2 = 1

A imagem é o disco u 2 + v 2 ≤ 1 , assim temos - 1 ≤ v ≤ 1 e - 1 - v 2 ≤ u ≤ 1 - v 2 .

Passo 5

Agora vamo substituir na integral:

∬ R x 2 - x y + y 2 d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - v 2 1 - v 2 2 u 2 + 2 v 2 4 3   d v d u

Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, usando u = r cos ⁡ θ , v = r sen ⁡ θ e d A = r d r d θ :

∬ R x 2 - x y + y 2 d A = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - v 2 1 - v 2   2 u 2 + 2 v 2 4 3 d v d u = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r cos ⁡ θ 2 + 2 r sen ⁡ θ 2 4 3   r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + 2 r 2 sen 2 ⁡ θ 4 3   r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ 4 3   r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 3 3   d r d θ = 8 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ = 8 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ = 8 3 ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 d θ = 8 3 ∫ 0 2 π 1 4 d θ = 8 3 1 4 θ 0 2 π = 8 3 1 4 . 2 π - 1 4 . 0 = 4 π 3

Resposta

∬ R x 2 - x y + y 2 d A = 4 π 3

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