Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 17
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde é a região limitada pela elipse ; ,
Passo 1
Para calcular essa integral vamos usar:
Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:
Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.
Passo 2
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E por ultimo é a derivada de em função de :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Passo 4
Vamos substituir e na elipse:
A imagem é o disco , assim temos e .
Passo 5
Agora vamo substituir na integral:
Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, usando , e :
Resposta
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Mostre que a transformação φ do exercício anterior transforma o círculo u 2 + v 2 ≤ r 2 no círculo x 2 + y 2 ≤ 2 r 2 .
Considere a transformação φ de ℝ2 em ℝ2 dada por x = u + v e y = u − v. Desenhe φ (B)sendo B a reta v = 0. sendo B o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
Calcule
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