Enunciado

Utilize a transformação dada para calcular a integral.

∬ R x 2 d A , onde R é a região limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36 ; x = 2 u , y = 3 v

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u 2 u = 2

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v 2 u = 0

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u 3 v = 0

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v 3 v = 3

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 2 0 0 3 = 2.3 - 0 = 6

Passo 4

Vamos substituir u e v na elipse:

9 x 2 + 4 y 2 = 36 → 9 2 u 2 + 4 3 v 2 = 36 → 36 u 2 + 36 v 2 = 36 → u 2 + v 2 = 1

A imagem é o disco u 2 + v 2 ≤ 1 , assim temos - 1 ≤ v ≤ 1 e - 1 - v 2 ≤ u ≤ 1 - v 2 .

Passo 5

Agora vamo substituir na integral:

∬ R x 2 d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - v 2 1 - v 2 2 u 2 6   d v d u = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - v 2 1 - v 2 24 u 2   d v d u

Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, usando u = r cos ⁡ θ , v = r sen ⁡ θ e d A = r d r d θ :

∬ R x 2 d A = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - v 2 1 - v 2 24 u 2   d v d u = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 24 r 2 cos 2 ⁡ θ   r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 24 r 3 cos 2 ⁡ θ   d r d θ = ∫ 0 2 π 6 r 4 cos 2 ⁡ θ 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 6 . 1 4 cos 2 ⁡ θ - 6 . 0 4 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π 6 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π 6 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 6 1 2 θ + sen ⁡ 2 θ 4 0 2 π = 6 1 2 2 π + sen ⁡ 2 . 2 . π 4 - 1 2 . 0 + sen ⁡ 2 . 0 4 = 6 π

Resposta

∬ R x 2 d A = 6 π

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