Enunciado

Qual é o valor de c se

∑ n = 2 ∞ 1 + c - n = 2

Passo 1

Fala aí, galera! Tudo certinho? Essa questão pede para calcularmos o valor de c   onde o somatório do enunciado é igual a 2 . Vamos precisar fazer duas coisas para encontrar o valor de c :

  1. Para calcular o valor dessa série, vamos ter que manipular a série para ela ficar com a cara de uma geométrica
  2. ∑ n = 0 ∞ a r n

  3. Calcular a soma da sério geométrica com a fórmula

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Vamos lá?!

Passo 2

Primeiramente manipulando a série

∑ n = 2 ∞ 1 + c - n = ∑ n = 2 ∞ 1 1 + c n

Ela começa em n = 2 , para isso vamos reindexar, vamos pensar o seguinte, o primeiro termo tem como expoente no denominador o 2 , então se mudarmos para n = 0 , o expente tem que ser n + 2 para não alterar o valor da série

∑ n = 2 ∞ 1 1 + c n = ∑ n = 0 ∞ 1 1 + c n + 2

Agora para que ela seja geométrica o expoente tem que ser n , para isso basta tirar 1 / 1 + c 2 da multiplicação

∑ n = 0 ∞ 1 1 + c n + 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 1 + c 2 1 + c n

Passo 3

Agora vamos calcular essa soma, só jogar na fórmula, com a = 1 / 1 + c 2 e r = 1 / ( 1 + c )

∑ n = 0 ∞ 1 1 + c 2 1 + c n = 1 1 + c 2 1 - 1 1 + c = 1 1 + c 2 1 + c - 1 1 + c

Fazendo a divisão de frações

1 1 + c 2 1 + c - 1 1 + c = 1 1 + c 2 ⋅ 1 + c c = 1 c ( 1 + c )

Agora, basta igualar a 2 para achar o valor de c

1 c ( 1 + c ) = 2

1 = 2 c ( 1 + c )

Invertendo os lados

2 c + 2 c 2 = 1

Subtraindo 1

2 c 2 + 2 c - 1 = 0

Passo 4

Vamos usar aquele Bhaskara maroto

Δ = 2 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ ( - 1 )

Δ = 4 + 8 = 12

Δ = 12 = 2 3

Calculando os valores de c

c = - 2 ± 2 3 2 ⋅ 2 = - 1 ± 3 2

c 1 = 3 - 1 2

c 2 = - 1 - 3 2

Passo 5

Agora precisamos lembrar que uma PG é considerada convergente quando - 1 < r < 1 e é divergente quando não satisfaz essa condição. Então, para validarmos os valores, temos que levar em consideração que a série tem uma condição, | r | < 1 , e como r = 1 / ( 1 + c ) , vamos manipular isso para isolar c :

1 1 + c < 1

Assim,

1 < 1 + c

Vamos agora dividir nos casos:

  • Se 1 + c > 0
  • 1 < 1 + c

    Então,

    c > 0

  • Se 1 + c < 0
  • 1 < - ( 1 + c )

    Então,

    1 < - 1 - c

    Somando c dos dois lados

    c + 1 < - 1

    Subtraindo 1 , temos

    c < - 2

    Então c > 0 ou c < - 2 , pois se - 2 < c < 0 a série diverge.

    Passo 6

    Analisando os valores de c 1 e c 2 que encontramos no passo 4:

  • Para c 1 , sabemos que 3 > 1 , logo ( 3 - 1 ) > 0 , portanto c 1 > 0 e temos que ele é um valor válido.
  • Para c 2 , temos que 1 < 3 < 2 , logo - 3 < - 1 - 3 < - 2 , se dividirmos por 2 , vamos obter que - 1,5 < c 2 < - 1 , se c 2 está neste intervalo que é dentro do intervalo proibido de c , - 2 < c < 0 a série diverge para c = c 2 .

Portanto temos que o único valor aceito de c para que

∑ n = 2 ∞ 1 + c - n = 2

É

c = 3 - 1 2

Show de bola?!

Resposta

c = 3 - 1 2

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